置換積分 - 高専からの大学編入記録

$I=\int \sqrt{x^2+A} dx$

これの解は公式になっていて

$\frac{1}{2}\left( x\sqrt{x^2+A}+A \log|x+\sqrt{x^2+A}| \right)$

しかし試験でこれを導かなくてはならなくなる場合もあるかもしれない。解法は、よくあるのが $t = x+\sqrt{x^2+A}$ と置換する方法で、 $x= \sqrt{A}\sinh t$ と置換する方法もある。前者は高校生レベルということで、後者でやることにする。

置換積分する。 $dx = \sqrt{A} \cosh t dt$ であるから

$I = \int \sqrt{A \sinh^2 t + A} \sqrt{A} \cosh t dt = A\int \cosh^2 t dt =\frac{A}{2} \int \left( 1 + \cosh 2t \right) dt$

$= \frac{At}{2} + \frac{A\sinh t \cosh t}{2} + C$ （Cは積分定数）

ここで $\cosh t = \sqrt{\sinh^2 t + 1} = \sqrt{\frac{x^2+A}{A}} (\cosh t \gt 0)$ より

$I = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2+A} + At) + C$ ①

である。 $\sinh t = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = x/\sqrt{A}$ であり、 $u=e^t$ とおくと、

$u^2 - \frac{2x}{\sqrt{A}}u - 1 = 0$

解の公式より $u = \frac{x}{\sqrt{A}} + \sqrt{\frac{x^2}{A} + 1} = e^t (u = e^t \gt 0)$

よって

$t = \log \left| \frac{x}{\sqrt{A}} + \sqrt{\frac{x^2}{A}+1} \right| = \log | x + \sqrt{x^2 +A}| - \log \sqrt{A}$

これを①に代入すると（Aは定数なので積分定数に含める）

$I = \frac{1}{2}\left( x\sqrt{x^2+A}+A \log|x+\sqrt{x^2+A}| \right) + C$