Heat Conduction Equation

物理

編入試験にはでないらしいけど。

 

ユークリッド空間 R^3において, 物体内の任意の点P(x, y, z)にdx, dy, dzの3辺を持つ微小直方体を考える. 微小時間dtでxz面に流れ込む熱量 Q_{\rm in}, および反対側から流れ出る熱量 Q_{\rm out}はそれぞれ

Q_{\rm in} = - \lambda dzdx\frac{\partial T}{\partial y}dt
Q_{\rm out} = -\lambda dzdx\(\frac{\partial T}{\partial y} + \frac{ \partial ^2T}{\partial y^2}dy\)dt

λは熱伝導率である. ここで, dxf''(x) = f'(x+dx) - f'(x)を使った. 以上からこの部分に留まる熱量は

Q_y = dxdydz\frac{\partial ^2 T}{\partial y^2}dt

同様に, xy平面とyz平面について考えると, この微小直方体に留まる熱量は

Q = \lambda \(\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2}\)dxdydzdt

dtでの温度上昇をdTとすると, Q=c\rho dxdydzdTであるから

\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda}{c\rho}\(\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2}\)

cは比熱, ρは密度である.