Kepler's laws

物理

・第2法則

"惑星が太陽の周りに描く面積速度は一定である."

[証明]

最初に，面積速度とは，ベクトル\mathbf{r}がd \mathbf{r}だけ変位したときにつくる 単位時間dt あたりの面積d \mathbf{S}なので

\frac{d \mathbf{S}}{dt} = \frac{1}{2}\mathbf{r} \times \mathbf{v}

と書ける．ここで， \mathbf{l} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}より，

\frac{d \mathbf{S}}{dt}= \frac{\mathbf{l}}{2m}

中心力のまわりの角運動量は保存するため，面積速度は一定である．

 

・第1法則

"惑星は, 太陽を1つの焦点とする楕円軌道を描く."

[証明]

平面極座標において軌道は

\frac{dr}{d \theta} = \frac{dr}{dt}/\frac{d\theta}{dt}

で与えられる．平面極座標では \mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e_r}+r \dot{\theta} \mathbf{e_\theta}であるから，惑星についての力学的エネルギーの保存から

E = \frac{1}{2}m\{\dot{r}^2 + (r \dot{\theta})^2 \} - G\frac{Mm}{r}

これを角運動量 l_z=mr^2 \dot{\theta}で書き換えると

E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + m\( \frac{l_z^2}{2m^2r^2}-G\frac{M}{r}\)

これより

\frac{dr}{dt} = \pm \sqrt{ \frac{2E}{m} + \frac{2GM}{r} - \frac{l_z^2}{m^2r^2}}
\frac{d\theta}{dt} = \frac{l_z}{r^2m}

であるから，軌道の式は

\frac{dr}{d\theta} = \pm \frac{mr^2}{l_z}\sqrt{ \frac{2E}{m} + \frac{2GM}{r} - \frac{l_z^2}{m^2r^2}}

である．つづく・・・